SERIES
1. Series binomial
¿Qué es?
Conceptos importantes
Ejemplos teórico
Ejemplo matlab
El programa de matlab va a calcular los términos de la serie binomial de valores a, b y n para posteriormente representarlos gráficamente.
Programa
function serieBinomial(a, b, n)
% a, b: Coeficientes de la serie binomial (a + b)^n
% n: Exponente en la serie binomial
% Inicializar vector para almacenar términos de la serie
terminos = zeros(1, n+1);
% Calcular términos de la serie binomial
for k = 0:n
terminos(k+1) = nchoosek(n, k) * a^(n-k) * b^k;
end
% Mostrar la serie binomial
disp('Serie Binomial:');
disp(terminos);
% Graficar la serie binomial
figure;
stem(0:n, terminos, 'LineWidth', 2);
title('Términos de la Serie Binomial');
xlabel('Índice del Término');
ylabel('Valor del Término');
grid on;
end
Command Window
a = 2;
b = 3;
n = 4;
serieBinomial(a, b, n);
Ejercicios
2. Series potencia
¿Qué es?
Las series de potencia son una representación matemática de una función en términos de una serie infinita de potencias de una variable, estas series se utilizan generalmente para el análisis matemático y para aproximar el comportamiento de un intervalo determinado. Una serie de potencias es una serie de la forma (Zapata, 2020):
En este el centro es c, x una variable, y los coeficientes de an Son los términos de una sucesión que corresponde la mayor parte de los casos a los de una serie de Taylor de alguna función conocida (Zapata, 2020).
En algunos casos, el centro c de la serie es igual a cero por lo que se habla de una serie denominada serie de Maclaurin y es de la siguiente forma:
Donde los coeficientes de an son constantes y x es una variable que puede ser cualquier número real. Las series de potencia son especialmente útiles para aproximar funciones complicadas mediante la suma de un número finito de términos de la serie. Al obtener la serie en un término determinado, se obtiene una aproximación de la función original (Zapata, 2020).
Conceptos importantes
- Teorema de convergencia de las series de potencias sí:
En una serie de potencias, existe un único número R0, quizá a mayor infinito; llamado el radio de convergencia, tal que si |z-z0|<R, la serie converge y sí |z-z0|>R, la serie diverge (Introducción a La Serie De Potencias, n.d.)
- Existe un intervalo de convergencia de las series de potencias: Este es un conjunto de todos los valores de x para los cuales la serie de potencias converge. El intervalo de convergencia es un disco centrado en el centro de la serie, que puede ser 0 o cualquier otro número real (Introducción a La Serie De Potencias, n.d.).
- Intervalo de convergencia 0<x<2:
- Intervalo de convergencia -1<x<1:
Ejemplos teórico
¿Cuál es el intervalo de convergencia de la serie?
Ejemplo matlab
Aquí podemos observar un ejemplo de código en Matlab donde se resuelve el intervalo de convergencia de la serie polinomial:
syms x n; % Definir variables simbólicas
% Definir la serie binomial
serie = 4*(x-5)^n / (-4)^n * (n)^2
% Calcular el límite del cociente
limite_cociente = limit(abs((4*(x-5)^(n+1) / (n+1)^2 * (-4)^(n+1) )/ (4*(x-5)^n/(-4)^n * (n)^2)), n, inf);
% Resolver la desigualdad para encontrar el intervalo de convergencia
disp('El intervalo de convergencia de la serie es ');
intervalo = solve(limite_cociente < 1, x)
Ejercicios
3. Series geométricas
¿Qué es?
Los términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica, es decir que la razón de los términos sucesivos permanece constante.
El comportamiento de los términos depende de la razón r donde
Si |r|<1, los términos decrecen y se acercan a cero en el límite, en ese caso la serie converge
Si |r|>1 los términos de la serie se incrementa en magnitud y la serie diverge
Suma o divergencia:
La suma de una serie geométrica será finita siempre que los términos tiendan a cero, permitiendo calcular la suma sin importar que la serie sea infinita.
Cuando r es diferente de 1 la suma de los primeros n es:
La serie geométrica real del término inicial a no nulo y de la razón r, es divergente si y sólo si |r|>1.
Convergencia
La serie geométrica real del término inicial a no nulo y de la razón r, es convergente si y solo si |r|<1, donde:
Conceptos importantes
Una serie converge a medida que sus términos se acercan a un valor finito, es decir que la suma de la serie se estabiliza y se aproxima a un valor real.
Una serie diverge si la suma no tiene un límite finito, es decir que se tiene un valor infinito o no definido.
Ejemplos teórico
Ejemplo matlab
Se evidencia un programa en matlab mediante el cual es posible determinar si una serie geométrica es convergente o divergente según el primer término y su razón común. Para ello se condicionan las diferentes características de divergencia y convergencia para posteriormente en el Command Window introducir el valor de a y r, para posteriormente llamar la función.
Programa:
function [esConvergente, suma] = serieGeometrica(a, r)
% a: primer término de la serie
% r: razón común de la serie
% Verificar convergencia
if abs(r) < 1
esConvergente = true;
% Calcular suma de la serie convergente
suma = a / (1 - r);
fprintf('La serie es convergente y su suma es: %f\n', suma);
else
esConvergente = false;
suma = NaN;
fprintf('La serie es divergente.\n');
end
end
Command Window
a = 2; % Cambia estos valores según tu serie
r = 0.5;
[esConvergente, suma] = serieGeometrica(a, r);
Este ejemplo muestra un gráfico como la suma parcial de la serie geométrica converge a medida que se le añaden más términos a partir del primer término a y r, su razón común.
Programa
function serieGeometrica(a, r, numTerminos)
% a: primer término de la serie
% r: razón común de la serie
% numTerminos: número de términos para la suma parcial
% Inicializar vector para almacenar las sumas parciales
sumasParciales = zeros(1, numTerminos);
% Calcular las sumas parciales
for n = 1:numTerminos
sumasParciales(n) = sum(a * r.^(0:n-1));
end
% Graficar las sumas parciales
figure;
plot(1:numTerminos, sumasParciales, '-o', 'LineWidth', 2);
title('Suma Parcial de Serie Geométrica');
xlabel('Número de Términos');
ylabel('Suma Parcial');
grid on;
legend('Serie Geométrica');
end
Command Window
a = 2;
r = 0.5;
numTerminos = 10;
serieGeometrica(a, r, numTerminos);
Ejercicios
4. Series exponenciales
¿Qué es?
Las series exponenciales son una forma de representar funciones exponenciales de una serie finita, la serie exponencial más común es la serie de la función ex, que se puede expresar en serie de potencias que se define como:
Esta serie representa la función exponencial como una suma infinita de términos, donde cada término es una potencia de x dividida por el factorial de n. La convergencia de la serie exponencial está relacionada con el valor de x para el cual la serie converge (Prasanna, 2023).
Conceptos importantes
- Propiedades de e:
- e se encuentra entre 2.7 y 2.8, es decir 2.7< e <2.8
desde que,
- El valor de e correcto a 10 decimales es 2.7182818284
- e es un número irracional
- e es la base del logaritmo neperiano, es decir,
Ejemplos teórico
Ejemplo matlab
Aquí podemos observar un código en matlab donde se resuelve el mismo ejemplo teórico, en este código se obtiene la serie de taylor con los términos totales que arroja el programa y se obtiene los primeros 4 términos de la serie como el ejemplo teórico:
syms x;
% Definir la función
f = exp(3*x);
% Obtener los primeros cuatro términos de la serie exponencial
orden_serie = 4;
serie_exponencial = taylor(f, x, 'Order', orden_serie);
serie_exponencial1 = taylor(f);
% Mostrar la serie exponencial
disp('La serie exponencial para e^(3x) es:');
disp(serie_exponencial1)
disp('Los primeros 4 terminos simplificados de la serie exponencial para e^(3x) es:');
disp(serie_exponencial);
Ejercicios
Referencias
Introducción a la serie de potencias. (n.d.). Calculisto. https://www.calculisto.com/topics/serie-de-potencias
Prasanna. (2023, May 1). Exponential Series. A Plus Topper. https://www.aplustopper.com/exponential-series/
Zapata, F. (2020, April 1). Serie de potencias: ejemplos y ejercicios. Lifeder. https://www.lifeder.com/serie-de-potencias/
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