Resolución de circuitos mediante la aplicación de transformadas de Laplace - Catalina Díaz y Lina Carrillo

Resolución de circuitos mediante la aplicación de transformadas de Laplace

Catalina Díaz - Lina Carrillo

Que es la transformada de Laplace

La transformada de Laplace, es el proceso mediante el cual se opera una función para obtener otra función con diferentes fines como el análisis de datos o la resolución de problemas, en el caso de la transformada de Laplace esta puede ser utilizada para resolver ecuaciones diferenciales convirtiéndolas en ecuaciones sencillas de resolver, ya que al aplicar la transformada, la ecuación diferencial se convierte en una ecuación algebraica en términos de la variable compleja s, y aplicando técnicas algebraicas es posible encontrar la solución en el dominio de Laplace, para posteriormente aplicar la transformada inversa de Laplace y obtener la solución en el dominio del tiempo.
La transformada de Laplace de una función f(t), definida para todo número real t0 es la función F(s), que se encuentra definida por: 

Donde s corresponde a la variable compleja:

Donde:

• σ representa la parte real de s y está asociada con la estabilidad del sistema.

• ω representa la parte imaginaria de s y está relacionada con la frecuencia.

La transformada de Laplace tiene muy variadas aplicaciones en diferentes campos como la ingeniería, entre los que es posible destacar la resolución de ecuaciones diferenciales o el análisis de sistemas lineales como circuitos eléctricos.

Análisis de circuitos eléctricos aplicando la transformada de Laplace

En una red resistiva compuesta de resistencia (R) conectadas de diferentes formas, a la que se le aplica una excitación, es sencillo realizar el cálculo de los valores de tensión y corriente que caen en cada elemento presente en el circuito, pero en redes que comprenden elementos almacenadores de energía como capacitores (C) e inductores (I) cuyas características de voltaje y corriente se definen como i = C dv/dt) y v = L di/dt, las ecuaciones resultantes van a ser ecuaciones integro-diferenciales cuyo proceso de solución puede ser extremadamente complejo.

Para solucionar estos circuitos RLC de manera más sencilla se puede emplear la transformada de Laplace que simplifica la ecuación resultante y permite realizar un proceso análitico en el dominio de la variable compleja s para finalmente allás la transformada inversa y obtener el resultado en el dominio del tiempo.

Circuito RLC y partes que lo componen

Un circuito RLC es un tipo de circuito eléctrico que contiene elementos resistivos (R), inductivos (L), y capacitivos (C):

• Resistencias: Estas se simbolizan con la letra R, se miden en Ohmions (Ω) y se caracterizan por oponerse al flujo de corriente en el circuito eléctrico, y entre mayor sea la resistencia mayor será la oposición al flujo de corriente.
• Inductores: Estos se simbolizan con la letra L, se miden en Henrys (H) y se caracterizan por almacenar energía en un campo magnético cuando una corriente pasa a través de ellos oponiendose a cambios rápidos en el flujo de corriente.
• Capacitores: Estos se simbolizan con la letra C, se miden en Faradios (F) y se caracterizan por almacenar carga eléctrica en un campo eléctrico cuando hay una diferencia de potenciales a través de ellos oponiendose a cambios rápidos en el voltaje

Estos elementos pueden estar conectados en serie o en paralelo, y formar un circuito el cual reacciona de manera particular a las variaciones de la frecuencia en una señal de entrada, esto relacionado con la impedancia del circuito; algunas reacciones destacables incluyen:

• Resonancia: A ciertas frecuencias la impedancia del circuito es mínima produciendo una mayor amplitud de la corriente o del voltaje en respuesta a una señal de entrada.
• Ancho de banda: Se refiere a la gama de frecuencias en las que el circuito exhibe un comportamiento particular el cual puede ser ajustado al modificar los valores de los componentes R, L y/o C.
• Filtros: Los circuitos RLC se utilizan en el diseño de filtros donde la respuesta del circuito a diferentes frecuencias es aprovechada para permitir o limitar el paso de ciertas señales.
• Atenuación y Amplificación: Dependiendo de la frecuencia, la impedancia del circuito puede causar atenuación o amplificación de la señal de entrada.

Resolución de circuitos aplicando la transformada de Laplace

Para solucionar un circuito empleando la transformada de Laplace es necesario seguir una serie de pasos que inician con el análisis del circuito identificando los elementos que lo componen (resistencias, inductancias, capacitancias y las fuentes de voltaje o corriente), posteriormente es necesario definir las variables de interés como voltajes o corrientes y en qué elemento del circuito recaen; tras comprender el funcionamiento del circuito es necesario plantear la ecuación del voltaje o corriente mediante el despeje de la ley de Ohm (V=I*R), y después de esto es necesario redibujar el circuito reemplazando los valores de cada elemento del circuito por sus representaciones en el dominio s, esto aplicando a cada elemento la transformada de Laplace de la siguiente manera:

• Para las fuentes de voltaje o de corriente se reemplaza por el valor transformado con Laplace: 2u(t)V = 2/s o 5u(t)A = 5/s
• Para R: Se reemplaza por el valor de la resistencia ejemplo: 1Ω = 1
• Para L: Se reemplaza por el valor transformado con Laplace ejemplo: 1H = 1s
• Para C: Se reemplaza por el valor transformado con Laplace ejemplo: 1F = 1/sc = 1/s1 =  1/s

Posteriormente se utilizan las leyes de Kirchhoff (voltaje y corriente) para relacionar los componentes del circuito con el voltaje o la corriente dependiendo el método que se vaya a emplear para solucionarlo, (Mallas: relación corriente/elementos o Nodos: relación voltaje/elementos) esto con el fin de obtener las ecuaciones que describen el circuito (que son ecuaciones algebráicas en términos de la variable compleja s), tras obtener las ecuaciones estas se simplifican mediante métodos algebráicos y se resuelven para la variable de interés que puede ser un voltaje o una corriente; y finalmente se aplica la transformada inversa de Laplace a la solución anteriormente obtenida para llegar a una respuesta final en el dominio del tiempo. 

Ejemplos:

• Circuitos sin condiciones iniciales

Ejemplo

1. Calcular el Vout del circuito

Para resolver el siguiente circuito, se realizará el análisis de mallas

Para el análisis el circuito se pasa al dominio s, por lo tanto:

• El voltaje es: 4/S

• La bobina es: sL=s(1)

• El capacitor es: 1/sc=1/s(1)

• La corriente es: 2/S

• Vo(s)=2(I1(s)-I2(s))

• I2(s)=2/s

Malla 1

Conformada por el voltaje, la resistencia de 1, la bobina de 1H, a resistencia de 1, a resistencia de 2 y corriente I1(s)

Ejemplo

2. Calcular el Vout del circuito

Para resolver el siguiente circuito, se realizará el análisis de mallas

Para el análisis el circuito se pasa al dominio s, por lo tanto:

• El voltaje es: 4/S

• La corriente es: 2/S

• La bobina es: sL=s(1)=s

• El capacitor es: 1/sc=1/s(1/2)=1/(s/2)

• Vo(s)=R*I3(s)

• I1(s)=2/s

Malla 2

Conformada por el voltaje, la resistencia de 1, la resistencia de 1, la resistencia de 2 y corriente I2(s)

• Circuitos con condiciones iniciales

Y para solucionar circuitos con condiciones iniciales utilizando la transformada de Laplace, se siguen estos pasos:

• Transformar las ecuaciones del circuito al dominio de la frecuencia : Representar los elementos del circuito (resistencias, inductores y capacitores) en el dominio de la frecuencia utilizando la transformada de Laplace.
• Establecer las condiciones iniciales : Dado que el problema se trata de un circuito eléctrico, las condiciones iniciales suelen estar relacionadas con las cargas y descargas iniciales de los elementos del circuito. Estas condiciones se pueden expresar en términos de corrientes y tensiones iniciales.
• Resolver el sistema de ecuaciones: Al transformar el circuito al dominio de la frecuencia, se obtiene un sistema de ecuaciones 
• Invertir la transformación : Una vez resuelto el sistema de ecuaciones en el dominio de la frecuencia, se debe invertir la transformación para obtener la respuesta del circuito en el dominio del tiempo. Esto generalmente se hace aplicando el teorema de valor inicial y final, que permite obtener los valores de las variables en el tiempo a partir de sus valores en la frecuencia

Ejemplo

1. Calcular I(t)

• Cuando está abierto

V=R*I
I=6v3=2A, condición inicial I0

• Cuando está cerrado

Desaparece la resistencia de 1, por el corto que se realiza en la parte de arriba, al estar en paralelo y el de arriba valer 0, el equivalente es 0

Vf=VR+VL- I0

Reemplazando: 

Funciónes de transferencia

Una función de transferencia es una función matemática lineal que emplea la transformada de Laplace para representar el comportamiento dinámico y estacionario de un sistema.

La función de transferencia (H(s)) es una herramienta esencial en el análisis de sistemas lineales en el tiempo, esta se define como la relación de la transformada de Laplace de la salida de un sistema (Y(s)) con la transformada de Laplace de la entrada (X(s)) incluyendo todas las condiciones iniciales nulas:

H(s)=Y(s)/X(S)

Por otro lado la función de transferencia es una representación matemática de cómo un sistema dinámico responde a diferentes frecuencias de entrada; y dependiendo los parámetros en la función de transferencia, como la frecuencia natural no amortiguada (ωn) y la razón de amortiguamiento (ζ) es posible determinar el comportamiento dinámico y la respuesta temporal de un sistema. De este modo es posible analizar como la estabilidad de un sistema (capacidad para volver a su estado de equilibrio después de ser perturbado) se relacionada con la respuesta del sistema a entradas y cómo evoluciona en el tiempo.

Es posible encontrar tres clases de amortiguamiento de una señal:

• Sobreamortiguada donde: ζ>1
• Una onda sobreamortiguada es un fenómeno en sistemas dinámicos que experimentan amortiguamiento excesivo. En el contexto de las ecuaciones diferenciales lineales, la solución para una onda sobreamortiguada en el dominio del tiempo tiende a decrecer rápidamente hacia el equilibrio sin oscilar de manera significativa. Esto se debe a un alto coeficiente de amortiguamiento en comparación con la frecuencia natural del sistema. En términos de Laplace, la respuesta sobreamortiguada se caracteriza por presentar polos reales distintos y una transición suave hacia el estado estacionario. Cuando se hace referencia a un sistema sobreamortiguado es aquel en el cual el amortiguamiento es tan fuerte que la respuesta del sistema no oscila antes de alcanzar el equilibrio. En este tipo de sistema, el coeficiente de amortiguamiento es mayor que la raíz cuadrada de la frecuencia natural multiplicada por dos. Como resultado, los desplazamientos o respuestas del sistema disminuyen más rápidamente hacia cero sin oscilar significativamente. 

• Subamortiguada donde: ζ<1
• Una onda subamortiguada es un fenómeno en sistemas dinámicos que experimentan un amortiguamiento insuficiente para detener completamente las oscilaciones, lo que se refleja en el dominio del tiempo mediante oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el equilibrio. En términos de Laplace, la respuesta subamortiguada se describe con polos complejos conjugados. 

• Criticamente amortiguada donde ζ=1
• Una onda críticamente amortiguada es un tipo de respuesta en sistemas dinámicos que exhibe una rápida estabilidad hacia su estado estacionario sin oscilaciones, esta se caracteriza por alcanzar su estado final lo más rápido posible sin sobrepasar su posición de equilibrio, lo que la diferencia de las ondas subamortiguadas (que oscilan antes de llegar al equilibrio). Es por esto que las ondas críticamente amortiguadas muestran una respuesta rápida y estable hacia su estado estacionario sin oscilaciones. 

Ejemplo

1. Circuito 1 C:100uF y L:100uH

Calcular el Vout del circuito, para generar señales subamortiguadas, sobreamortiguadas y críticamente amortiguado:

Para resolver el siguiente circuito, se realizará el análisis por mallas

Para el análisis, el circuito se pasa al dominio s, por lo tanto:

• El voltaje es: 5/S

• La bobina es: sL=s(100x10-6)

• El capacitor es: 1/sc=1s/(100x10-6)

Malla 1

Conformada por el voltaje de entrada, la resistencia de 1k, y el valor de la resistencia incógnita, y corriente I1(s)

A partir del valor del sigma para cada una de las gráficas (subamortiguadas, sobreamortiguadas y críticamente amortiguado), se despeja la R correspondiente que tendrá el valor para generar cada una de estas

Para calcular subamortiguadas, el valor de la resistencia es:

ζ<1, R=1

Sobreamortiguadas, el valor de la resistencia es:

ζ>1, R=3

Críticamente amortiguado, el valor de la resistencia es:

ζ=1, R=2

• Críticamente amortiguado

• Sobreamortiguad

• Subamortiguada

Ejemplo

2. Circuito 2 C:100uF y L:100uH

Calcular el Vout del circuito, para generar señales subamortiguadas, sobreamortiguadas y críticamente amortiguado:

Para resolver el siguiente circuito, se realizará el análisis de mallas

Para el análisis el circuito se pasa al dominio s, por lo tanto:

• El voltaje es: 10S (Vin)

• La bobina es: sL=s(100x10-6H)

• El capacitor es: 1sc=1s(100x10-6F)

Malla 1

Conformada por el voltaje de entrada, la resistencia de 1k, el capacitor, y corriente I1(s)

Malla 2

Conformada por la resistencia incógnita, la bobina, el capacitor y corriente I2(s)

A partir del valor del sigma para cada una de las gráficas (subamortiguadas, sobreamortiguadas y críticamente amortiguado), se despeja la R correspondiente que tendrá el valor para generar cada una de estas

Para calcular subamortiguadas, el valor de la resistencia es:

ζ<1, R=1,13

Sobreamortiguadas, el valor de la resistencia es:

ζ>1, R=3,7

Críticamente amortiguado, el valor de la resistencia es:

ζ=1, R=2

• Críticamente amortiguado

• Sobreamortiguad

• Subamortiguada

Referencias:

La transformada de Laplace. (2022, 19 enero). Universidad de Guanajuato. Recuperado 29 de noviembre de 2023, de https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-5-la-transformada-de-laplace/

RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS APLICANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE. (2013). Cátedra de Teoría de Circuitos I. Recuperado 29 de noviembre de 2023, de https://www.fceia.unr.edu.ar/tci/utiles/Apuntes/CAP%2012-2013%20LAPLACE.pdf

Tabla Laplace. (s. f.). PDF. https://es.slideshare.net/jorramirez/tabla-laplace