David Hilbert nació en Königsberg, ciudad de la Prusia oriental situada junto al Báltico. Reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX debido al desarrollo de un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional.
Figura 1. David Hilbert
Definición de la transformada de Hilbert
La transformada de Hilbert es una operación matemática que se utiliza en el análisis de señales y sistemas, especialmente en el campo de la teoría de la comunicación y procesamiento de señales. Esta transformada lleva una función dada en el dominio del tiempo a otra función en el dominio de la frecuencia, pero a diferencia de la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert proporciona información no solo sobre la amplitud de las componentes de frecuencia, sino también sobre sus fases.
Esta se utiliza comúnmente en la demodulación de señales, el análisis de la amplitud y la fase de señales, y en aplicaciones relacionadas con la teoría de la comunicación y la teoría de señales. Una propiedad importante de la transformada de Hilbert es que permite calcular la envolvente de una señal, lo que puede ser útil en diversas aplicaciones, como el procesamiento de audio y la detección de eventos en señales.
La envolvente describe cómo varía la amplitud de una señal en el tiempo y es útil en aplicaciones como la detección de picos y la identificación de cambios significativos en una señal.
Se define como la convolución con la función:
De la forma:
En ingeniería, la transformada de Hilbert tiene diversas aplicaciones:
- Comunicaciones: En sistemas de comunicación, la transformada de Hilbert es utilizada para la modulación y demodulación de señales. Ayuda a separar las componentes de fase y amplitud de las señales moduladas, facilitando la transmisión y recepción de información.
- Procesamiento de Señales biológicas: En aplicaciones biomédicas, como el procesamiento de señales de electrocardiogramas (ECG) o electromiogramas (EMG), la transformada de Hilbert puede ser utilizada para analizar las características temporales y de frecuencia de estas señales.
- Análisis de Audio: En el procesamiento de audio, la transformada de Hilbert puede ser empleada para analizar la envolvente y la fase de señales de audio. Esto es útil en aplicaciones como la mejora de la calidad del sonido, la separación de fuentes y el reconocimiento de patrones de audio.
- Instrumentación Electrónica: En el diseño de instrumentos electrónicos y sistemas de medición, la transformada de Hilbert puede ser utilizada para extraer información importante de las señales de entrada, como la fase y la amplitud de las componentes de frecuencia.
- Procesamiento de Imágenes: En el procesamiento de imágenes, la transformada de Hilbert puede ser utilizada para analizar patrones de textura y características espaciales en imágenes.
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Figura 2. Artículo
Los autores plantearon un sistema llamado RobHand el cual está diseñado para trabajar en la neuro rehabilitación para la mano y muñeca de sujetos que han
sufrido un accidente cerebrovascular y deben recuperar la movilidad perdida como
consecuencia del mismo. El sistema incluye un exosqueleto de mano,
un módulo de muñeca, un interfaz con el paciente para la realización de terapias basadas en
un entorno virtual y un sistema de gestión de toda la información asociada a los pacientes y
las terapias realizadas.
El objetivo principal de este trabajo es presentar el planteamiento y el estado de
desarrollo de la arquitectura de control del dispositivo de rehabilitación. Este adopta un
esquema jerárquico en tres niveles de tal modo que el nivel superior, L1, gestiona la
ejecución de las terapias virtuales y adapta dinámicamente el comportamiento del sistema
al estado de desempeño del paciente.
El nivel inferior L3 se ocupa del control de los grados
de libertad del dispositivo y se implementa directamente mediante los drivers de los
actuadores. Entre ambos, el nivel intermedio L2 implementa una estrategia de interacción
háptica con control de admitancia. Para ello planteamos utilizar registros de
electromiografía de superficie del paciente para estimar la intencionalidad de movimiento,
y la lectura del consumo de corriente de los motores, para adaptar dinámicamente el nivel
de asistencia a la situación del paciente.
Figura 2. Diagrama de bloques del control para terapias activas de RobHand.
A continuación, la detección de intención de movimiento del paciente por medio del tratamiento y análisis de las señales EMG de los músculos encargados del movimiento de apertura y cierre de la mano.
Figura 4. Señales EMG normalizadas de los músculos para determinar la apertura y cierre de la mano, mediante un control binario.
Código de la transformada de Hilbert:
El siguiente código se utiliza para obtener la parte imaginaria de una señal analítica a partir de su parte real, la frecuencia se puede ajustar en f0 dependiendo la necesidad que se tenga.
% Crear una señal sinusoidal
fs = 1000; % Frecuencia de muestreo en Hz
t = 0:1/fs:1; % Vector de tiempo de 0 a 1 segundo con paso de 1/fs
f0 = 5; % Frecuencia de la señal sinusoidal en Hz
x = sin(2*pi*f0*t);
% Calcular la transformada de Hilbert
hx = hilbert(x);
% Graficar la señal original y la parte imaginaria de la señal analítica
figure;
subplot(2,1,1);
plot(t, x, 'b', t, imag(hx), 'r--');
title('Señal Original (Azul) y Parte Imaginaria de la Señal Analítica (Rojo)');
xlabel('Tiempo (s)');
legend('Original', 'Imaginaria');
subplot(2,1,2);
plot(t, angle(hx));
title('Fase de la Señal Analítica');
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Fase (rad)');
sgtitle('Transformada de Hilbert');
% Ajustar el eje y para la fase
subplot(2,1,2);
ylim([-pi pi]);
La gráfica resultante es:
Figura 5. Gráfica del código.
Referencias:
Cisnal, A., Moreno, V., Pérez Turiel, J., Alonso, R., Fraile Marinero, J. C., & Lobo, V. (2019, November 13). Estrategia para el control háptico, Basado en electromiografía, de un Exoesqueleto de Mano Para Neurorehabilitación. 11o Simposio CEA de Bioingeniería. https://riunet.upv.es/handle/10251/131059
Análisis de Señales en Geofísica - UNLP. (2020, Septiembre 25). http://carina.fcaglp.unlp.edu.ar/senales/teorias/Clase10.pdf
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