Transformada de Laplace/Bode

 Forero Ilian, Rojas Jesús

Universidad El Bosque 

Programa de Bioingeniería , Transformadas

 

• Definición

Transformada de Laplace:

La transformada de Laplace es una herramienta matemática utilizada en ingeniería y matemáticas aplicadas para analizar sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Se denota comúnmente por L y transforma una función del tiempo f(t) en una función de la variable compleja s, denotada por F(s).

Se define la Transformada de Laplace L[·] de la función f(t) ∈ E como la transformación integral

La transformada de Laplace es particularmente útil en el análisis de sistemas dinámicos porque simplifica las ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas más manejables. Esto facilita el análisis de la respuesta de un sistema a diferentes entradas y la comprensión de su comportamiento en el dominio de la frecuencia.

Diagramas de Bode:

Los diagramas de Bode son herramientas gráficas utilizadas para representar la respuesta en frecuencia de un sistema. Estos diagramas son especialmente útiles en el diseño de sistemas de control y en la comprensión de cómo un sistema responde a diferentes frecuencias de entrada.

En un diagrama de Bode, la frecuencia se representa en una escala logarítmica y se muestra la ganancia y la fase del sistema en función de la frecuencia. La ganancia se representa en decibelios (dB), y la fase se representa en grados. Estos diagramas son útiles para evaluar la estabilidad y la respuesta de un sistema en el dominio de la frecuencia.

Los diagramas de Bode muestran la respuesta en frecuencia, es decir, los cambios de magnitud y fase como una función de la frecuencia.

Imagen 1. 

Aplicaciones

 Los diagramas de Bode son muy útiles para analizar los cambios de magnitud y fase introducidos por un sistema lineal e invariante en el tiempo (sistema LTI) p. ej. la respuesta de bucle cerrado de control de una fuente de poder.

Un diagrama de Bode permite determinar con facilidad los márgenes de fase y ganancia: los márgenes de fase y ganancia son importantes para determinar la estabilidad del sistema

Para describir las funciones del diagrama de Bode en los osciloscopios de la serie MSO5000 se puede usar un filtro sencillo como en el ejemplo. Como se indica arriba, un filtro puede bloquear parte de la banda de frecuencia y dejar pasar otra parte. La Figura 2 muestra un filtro paso bajo como ejemplo. Deja pasar todos los componentes de frecuencia a partir de un rango de baja frecuencia, p.ej. 0 Hz hasta la frecuencia límite superior, y bloquea todos los componentes de las frecuencias más altas.

Fórmula 3: Cálculo de magnitud y ángulo para un filtro RC bajo paso de primer orden.

Con el diagrama de Bode se pueden medir diferentes parámetros. Uno de estos parámetros es el margen de fase (phase margin, PM). El PM describe la distancia de fase o el margen de fase desde 0° hasta el punto de medida real en la posición cuya ganancia es 0 dB (es decir, la amplitud del punto tiene el mismo valor que la amplitud de salida). En algunos sistemas de transmisión estos parámetros pueden ser muy importantes. Por ejemplo, si el PM es muy pequeño, dependiendo de la función, los componentes pueden asumir una propiedad oscilante no deseada. Cuanto más alto es su valor, mayor es la estabilidad. Otro parámetro describe el margen del amplificador (amplifier margin, GM). De forma parecida al PM, el GM es una medida de la estabilidad relativa. Aquí, con una posición de fase de 0°, la diferencia de amplitud o la reserva de amplitud se mide a 0 dB y se marca automáticamente en el diagrama de Bode y se muestran como un valor medido. Dependiendo del sistema de transmisión también puede ocurrir que, si este valor es muy pequeño, también tenga el efecto de un oscilador. Lo mismo vale aquí: cuanto más alto es este valor, mayor es la estabilidad. Ambos valores aparecen en la Figura 3 en una medida tomada como ejemplo.

Figura 3: Medida de PM y GM con el diagrama de Bode del MSO5000.

En algunos circuitos que utilizan amplificadores, por ejemplo, las amplitudes que son demasiado bajas pueden arrojar un resultado incorrecto dado que la amplitud de salida es demasiado baja para obtener un valor de ganancia que se pueda evaluar. Para ello habría que aumentar la amplitud de entrada, lo cual tiene el inconveniente de que el amplificador dependiente de la frecuencia se puede saturar en otra banda de frecuencia más alta y la señal a la salida se distorsiona. Para remediar el problema, el MSO5000 ofrece una variación de amplitud en el rango de frecuencia. Esto significa que se podría fijar una amplitud de entrada más alta en las décadas inferiores y un valor más bajo de la amplitud para frecuencias más altas.

ejemplos 

Relación entre Laplace y Bode:

La transformada de Laplace y los diagramas de Bode están interrelacionados en el análisis y diseño de sistemas de control. La transformada de Laplace permite analizar la respuesta de un sistema en el dominio de Laplace, mientras que los diagramas de Bode proporcionan una representación gráfica de la respuesta en frecuencia del sistema.

En muchos casos, los ingenieros utilizan la transformada de Laplace para obtener la función de transferencia de un sistema y luego utilizan esta función para trazar los diagramas de Bode. Los diagramas de Bode son valiosos para evaluar la estabilidad, la precisión y la rapidez de respuesta de un sistema en función de la frecuencia.

• Código
  El siguiente código crea y grafica una función f(t)=e-2t*sin(3t) en el tiempo, y luego calcula y muestra su transformada de Laplace F(s). Es necesario asegurarse de tener MATLAB con el Symbolic Math Toolbox instalado para usar las funciones simbolicas como 'laplace '.

% Definir la función del tiempo f(t)

t = 0:0.01:5; % Vector de tiempo de 0 a 5 segundos con paso de 0.01 segundos

f_t = exp(-2*t).*sin(3*t); % Ejemplo de una función en el tiempo

% Grafica en la función del tiempo

figure;

subplot(2,1,1);

plot(t, f_t);

title('Función en el Tiempo');

xlabel('Tiempo (s)');

ylabel('f(t)');

% Calculo de la transformada de Laplace

syms s T;

F_s = laplace(exp(-2*T)*sin(3*T), T, s);

% Mostrar la función de Laplace

subplot(2,1,2);

pretty(F_s);

title('Transformada de Laplace');

xlabel('s');

ylabel('F(s)');

A continuación se muestra un manual que facilita el uso del código presentado anteriormente

1. Abrir MATLAB
   Abre MATLAB en tu computadora

2.  Copia y pega el código
   Copia el código proporcionado

3.  Pega en MATLAB
   Pega el código en la ventanas de comandos de MATLAB

4. Ejecutar el código
   Presiona Enter para ejecutar el código, MATLAB ejecutará cada línea del código y mostrará los resultados en la ventana de comandos

5.  Observa las gráficas
   Después de ejecutar el código, deberías ver dos gráficas en una ventana nueva. La primera gráfica muestra la función en el tiempo (f(t)), y la segunda gráfica muestra la transformada de Laplace (F(s))

6.  Explora y aprende
   Este código es un punto de partida para entender cómo trabajar con funciones en el tiempo y sus transformadas de Laplace en MATLAB. Puedes experimentar con diferentes funciones, ajustar los parámetros y observar cómo cambian las gráficas
   
   

Es importante tener en cuenta que este utiliza funciones simbólicas para calcular la transformada de Laplace, por lo que necesitarás tener el Symbolic Math Toolbox instalado en tu versión de MATLAB.