SERIE DE FOURIER KAREN CONTRERAS

FUNCION PERIODICA 

Una función periódica es una función matemática que exhibe un patrón repetitivo a lo largo de un intervalo específico, llamado periodo. Esto significa que, al avanzar a lo largo del eje x, la función se repite de manera idéntica en intervalos regulares.

Formalmente, una función  f(x) es periódica si existe un numero positivo T llamado periodo , tal que para cualquier valor x, se cumple que :

f(x+T)=f(x)

Es decir , el valor de la función en x+T es igual al valor de la función en x .

Ejemplos de funciones periódicas:

• Funciones trigonométricas funciones seno y coseno son ejemplos clásicos de funciones periódicas con un periodo de 2pi.
• Funciones periódicas por tramos: Algunas funciones se definen de manera diferente en diferentes intervalos, pero repiten patrones en esos intervalos

HISTORIA

Las series de Fourier reciben su nombre en honor a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que hizo importantes contribuciones al estudio de las series trigonométricas, que previamente habían sido consideradas por Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert y Daniel Bernoulli.a​ Fourier introdujo las series con el propósito de resolver la ecuación de conducción del calor en una lámina de metal publicando sus resultados en 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ('Memoria sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos'), y publicando su Théorie analytique de la chaleur ('Teoría analítica del calor') en 1822. Ideas previas en descomponer una función periódica en la suma de simples funciones de oscilación datan desde el siglo iii a. C., cuando astrónomos antiguos propusieron un modelo empírico de movimiento planetario con base en epiciclo.

Fig 1 .Jean-Baptiste Joseph Fourier 

Aunque el motivo original era resolver la ecuación de calor, tiempo después fue obvio que se podía usar la misma técnica a un gran conjunto de problemas físicos y matemáticos, especialmente aquellos que involucraban ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, para los cuales sus soluciones únicas eran sinusoidales. Las series de Fourier tienen muchas aplicaciones en la ingeniería eléctrica, análisis de vibraciones, acústica, óptica, procesamiento de señales, retoque fotográfico, mecánica cuántica, econometría,5​ la teoría de estructuras con cascarón delgado, etc.

IMPORTANCIA 

• Análisis de señales y sistemas: Es fundamental en el análisis de señales periódicas, permitiendo representar funciones periódicas como una suma infinita de senos y cosenos.
• En el procesamiento de señales, la serie de Fourier se utiliza para analizar y sintetizar señales periódicamente.Es fundamental en técnicas como la modulación de frecuencia (FM) y la modulación de amplitud (AM) en comunicaciones.
• En la transmisión de información a través de canales de comunicación, la serie de Fourier es esencial para entender y analizar las señales transmitidas.
• En el procesamiento de imágenes y audio, la serie de Fourier se aplica para transformar señales del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.
• En el diseño de circuitos eléctricos y sistemas de control, la serie de Fourier se utiliza para analizar y describir señales eléctricas periódicas.

SERIE DE FOURIER 

Las series de Fourier consisten en una sumatoria de infinitos términos, los cuales constan de funciones armónicas, seno y coseno, cuyo argumento es múltiplo entero de una frecuencia fundamental.

Las funciones seno y coseno están multiplicadas por coeficientes de valores, tales que la sumatoria es idéntica a una función con periodo T igual a dos veces pi (2π) dividido entre la frecuencia angular fundamental ω.

Fig. 2. Se muestran(azul) los seis primeros armónicos no nulos de la serie de Fourier correspondiente a una señal de forma de onda cuadrada .La sumatoria de estos armónicos da lugar a la señal de color rojo

PROPIEDADES

• Linealidad: Las series de Fourier son lineales, lo que significa que la combinación lineal de funciones puede ser representada como la combinación lineal de sus series de Fourier correspondientes.
• Convergencia Puntual: En muchos casos, las series de Fourier convergen puntualmente a la función original en los puntos donde la función es continua.
• Convergencia en Media Cuadrática: Las series de Fourier convergen en media cuadrática (o en norma L2) a la función original en un intervalo si la función satisface ciertas condiciones, incluso si la función tiene discontinuidades finitas.
• Teorema de Parseval: Este teorema establece que la energía de la señal periódica (la función) es igual a la suma de las energías de sus componentes de frecuencia individuales. Es decir, la energía total de una función periódica es igual a la suma de las magnitudes cuadradas de sus coeficientes de la serie de Fourier.
• Convergencia Uniforme: En ciertos casos, las series de Fourier convergen uniformemente a la función original, lo que significa que la aproximación es válida en todo el intervalo y no solo en puntos específicos.
• Propiedades de Simetría: Las funciones pares se expresan únicamente con cosenos en su serie de Fourier, mientras que las funciones impares se expresan solo con senos. Esto simplifica el cálculo de los coeficientes.
• Derivadas e Integrales de Funciones: Las series de Fourier también pueden aplicarse a derivadas e integrales de funciones periódicas, lo que facilita el análisis de sistemas dinámicos y problemas de valores iniciales.

Una función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas es decir

$f\left(t\right)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_k\cos \left(k\frac{2\pi }{P}t\right)+b_k\sin \left(k\frac{2\pi }{P}t\right)\right)$

donde a0 a1 ...ak ... y b1 b2 .... bk .... son los denominados coeficientes de Fourier.

Teniendo en cuenta los resultados de las integrales

$\underset{-P/2}{\overset{P/2}{\int }}\cos \left(m\frac{2\pi }{P}t\right)\sin \left(n\frac{2\pi }{P}t\right)dt=\frac{P}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos \left(mx\right)\sin \left(nx\right)dx=0$

EJEMPLOS

1. Hacer el cálculo explícito de los coeficientes de la función

 f(t) = { 0 si 0  ≤  t  < π y 1 si π ≤  t   < 2π }

Solución

En primer lugar identificamos el período T de esta función como 2π, por lo que la frecuencia fundamental ω = 2π/ T en este ejemplo es igual a la unidad, es decir:

ω = 1

La función está definida en el intervalo [0, 2π], por lo que todas las integraciones se realizarán en dicho intervalo. 

Entonces el término independiente se calcula de la siguiente manera:

Los coeficientes que multiplican a las funciones coseno se calculan de esta forma:

Como puede verse, todos los coeficientes a´s son nulos, lo cual ocurrirá siempre que la función f(t) sea impar.

De forma semejante los coeficientes b’s se calcularán de la siguiente manera:

2. Desarrollo en serie de Fourier con MATLAB y a aproximar una función periódica mediante la suma de funciones armónicas

La función f(t)=cos(2πt)+cos(4πt)/2, es la suma de dos funciones periódicas de periodos 1 y 0.5, respectivamente. Como vemos en la gráfica f(t) es periódica con periodo P=1.

Las funciones cos(t) y 

$\cos \left(\sqrt{2}t\right)$

 son periódicas de periodo 2π y 

$2\pi /\sqrt{2}$

 respectivamente, pero la suma

$f\left(t\right)=\cos \left(t\right)+\cos \left(\sqrt{2}t\right)$

t=0:0.05:10;

x=cos(2*pi*t)+cos(4*pi*t)/2;

subplot(2,1,1)

plot(t,x);

xlabel('t')

ylabel('x')

subplot(2,1,2)

x=cos(2*pi*t)+cos(2*pi*sqrt(2)*t);

plot(t,x);

xlabel('t')

ylabel('x')

3.Hallar los coeficientes de la función correspondiente a la figura 1, la cual es:

f(t) = { -1 si 0≤ t <T/2  y  +1 si T/2≤ t <T }

Solución 

Como la función toma valores comprendidos entre -1 y +1, podemos intuir que el término independiente es nulo, sin embargo lo calcularemos explícitamente:

Por el hecho que la función tiene simetría impar, todos los coeficientes a’s que multiplican a los términos armónicos con la función coseno deben ser nulos. Lo verificamos a continuación:

Por último, hallaremos los coeficientes b’s que multiplican a los términos armónicos que contienen la función seno:

De donde puede notarse que todos los términos b’s con subíndice par son 0. Los primeros términos impares son:

b1= -4/(π); b3= -4/(3π); b5= -4/(5π); b7= -4/(7π) y b9= -4/(9π)

4. 

FUNCION PAR

Por ejemplo, para el pulso rectangular simétrico de anchura 1 y periodo P=2 se obtienen los siguientes coeficientes.

$\begin{array}{c}{a}_0=\frac{2}{2}\underset{-0.5}{\overset{0.5}{\int }}dt=1\\ a_k=\frac{2}{2}\underset{-0.5}{\overset{0.5}{\int }}\cos \left(k\pi t\right)dt=\frac{2}{k\pi }\left(\sin \left(\frac{k\pi }{2}\right)\right)\{\begin{array}{c}0k\text{par}\\ \frac{2}{k\pi }{\left(-1\right)}^{(k-1)/2}k\text{impar}\end{array}\end{array}$

>> syms t P k;
>> ak=int(cos(pi*k*t),t,-0.5,0.5);
>> subs(ak,k,sym('[1 2 3 4 5 6 7]'))
ans =[ 2/pi, 0, -2/(3*pi), 0, 2/(5*pi), 0, -2/(7*pi)]

Vamos a reconstruir la función f(t) a partir del desarrollo en serie de Fourier.
$s_n\left(t\right)=\frac{1}{2}+\frac{2\cos \left(\pi t\right)}{\pi }-\frac{2\cos \left(3\pi t\right)}{3\pi }+\frac{2\cos \left(5\pi t\right)}{5\pi }-\frac{2\cos \left(7\pi t\right)}{7\pi }+\mathrm{..}$

n=7; %número de términos
hold on
x=[-1 -0.5 -0.5 0.5 0.5 1];
y=[0 0 1 1 0 0];
plot(x,y,'b','linewidth',2)
x=linspace(-1,1,100);
y=zeros(length(x),1);
for i=1:length(x)
    y(i)=1/2;
    for k=1:2:n
        y(i)=y(i)+(-1)^((k-1)/2)*2*cos(k*pi*x(i))/(k*pi);
     end
end
plot(x,y, 'r');
title(sprintf('Aproximación de Fourier: %i términos',n))
xlabel('t'); 
ylabel('f(t)')
grid on
hold off

5. FUNCION IMPAR

Sea ahora la función de periodo P=2

Es una función impar, los coeficientes ak son nulos

$b_k=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\sin \left(k\pi t\right)dt-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sin \left(k\pi t\right)dt=\frac{1}{k\pi }\left(-2+2\cos \left(k\pi \right)\right)=\{\begin{array}{c}0k\text{par}\\ \frac{-4}{k\pi }k\text{impar}\end{array}$

>> syms t P k;
>> bk=int(sin(pi*k*t),t,-1,0)-int(sin(pi*k*t),t,0,1);
>> subs(bk,k,sym('[1 2 3 4 5 6 7]'))
ans =[ -4/pi, 0, -4/(3*pi), 0, -4/(5*pi), 0, -4/(7*pi)]

El desarrollo en serie es

$s_n\left(t\right)=-\frac{4\sin \left(\pi t\right)}{\pi }-\frac{4\sin \left(3\pi t\right)}{3\pi }-\frac{4\sin \left(5\pi t\right)}{5\pi }-\frac{4\sin \left(7\pi t\right)}{7\pi }+\mathrm{...}$

n=7; %Número de términos;
hold on
x=[-1 -1 0 0 1 1];
y=[0 1 1 -1 -1 0];
plot(x,y,'b','linewidth',2)
x=linspace(-1,1,100);
y=zeros(length(x),1);
for i=1:length(x)
    y(i)=0;
    for k=1:2:n
        y(i)=y(i)-4*sin(k*pi*x(i))/(k*pi);
     end
end
plot(x,y, 'r');
title(sprintf('Aproximación de Fourier: %i términos',n))
xlabel('t'); 
ylabel('f(t)')
grid on
hold off

APLICACIONES DE LA SERIE DE FOURIER

La serie de Fourier tiene una amplia variedad de aplicaciones en diversas disciplinas. Aquí se presentan algunas de las aplicaciones más importantes:

• Análisis de Señales y Comunicaciones:En el campo de las telecomunicaciones, la serie de Fourier se utiliza para analizar y sintetizar señales periódicas. Es fundamental en la modulación de frecuencia (FM) y modulación de amplitud (AM), así como en el diseño de sistemas de transmisión de datos.
• Procesamiento de Señales y Imágenes:En el procesamiento de señales y en el campo de la imagen, la serie de Fourier se aplica para analizar y transformar señales desde el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. La Transformada de Fourier Discreta (DFT) se utiliza en algoritmos eficientes para el procesamiento digital de señales y para la compresión de imágenes.
• Audio y Música:En ingeniería de sonido y música, la serie de Fourier es esencial para el análisis de ondas sonoras y la síntesis de sonidos. Permite descomponer señales de audio en sus componentes frecuenciales, facilitando la producción y manipulación de sonidos.
• Física:En física, la serie de Fourier se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales parciales que describen fenómenos ondulatorios y oscilatorios. También es relevante en el análisis de campos eléctricos y magnéticos.
• Control Automático:En ingeniería de control, la serie de Fourier se utiliza para analizar sistemas dinámicos y diseñar controladores. La representación en el dominio de la frecuencia facilita el análisis de la respuesta de sistemas a diferentes frecuencias de entrada. 
• Matemáticas Aplicadas:En matemáticas aplicadas, la serie de Fourier se utiliza para resolver problemas en los que las condiciones iniciales son periódicas. Esto incluye la resolución de ecuaciones diferenciales parciales en dominios periódicos.
• Ciencia de Datos: En ciencia de datos, la serie de Fourier puede utilizarse para analizar patrones de datos temporales, como series temporales, facilitando la identificación de patrones recurrentes y la predicción de tendencias.
• Óptica:En óptica, la serie de Fourier se utiliza para describir y analizar patrones de difracción de ondas electromagnéticas.

NOTAS AL TENER EN CUENTA LA SERIE 

• La Serie de Fourier de   converge a  dentro del intervalo de longitud T. Fuera de este intervalo la Serie de Fourier no converge a  y lo que nos queda son periodos de la Serie de Fourier de  que existe dentro de dicho intervalo.
• Si la función  tiene un periodo T igual a la longitud del intervalo donde estamos expandiendo la Serie de Fourier obtendremos que la Serie de Fourier de  converge a la función  en todo su dominio y podemos decir, de forma precisa, que se trata de la Serie de Fourier de  sin tener que especificar ningún intervalo.

Se definen la Sumas Parciales de la Serie de Fourier  en el intervalo T o simplemente la Serie de Fourier de , si la función tiene periodo T, como:

Nótese que la diferencia con la expresión inicial es que el sumatorio sólo llega hasta k. Así nos quedará para el caso concreto de :

A los dos sumandos  se les suele denominador primer armónico. Análogamente a los dos sumandos de subíndice 2 se les llama segundo armónico y así sucesivamente con cada dos sumandos del mismo subíndice.

VIDEOS 

https://youtu.be/P2-SEqV3gBg

REFERENCIAS

• https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier 
• https://fisicaymates.com/series-de-fourier/
• Franco, A.(2016). Series de Fourier. Recuperado de:http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/oscilaciones/fourier/fourier.html
  
  
  Managua. (2013). Lecciones sobre series de Fourier. Recuperado de: https://www.ugr.es/~acanada/docencia/matematicas/analisisdefourier/Duoandikoetxeafourier.pdf